Коцкање и наука: Математичар који је спасао коцкарнице

Шефови су били нервозни. Њихова компанија је била задужена за израду прецизних машина за мешање карата за коцкарнице.

На хиљаде њихових механичких мешача карата су били постављени у Лас Вегасу и широм света.

Приходи од изнајмљивања тих машина су им доносили милионе долара сваке године, а компанија је била и део њујоршке берзе.

Свеједно, шефови су недавно открили и да је једну од њихових машина хаковала банда превараната.

Они су користили скривену видео камеру и снимили рад машине за мешање карата кроз стакло прозора на казину.

Фотографије су биле прослеђиване на паркинг коцкарнице, а тамо биле поново емитоване успорено, да би се увиделе секвенце карата у шпилу, а затим би резултат такве анализе био поново прослеђен коцкарима који су били у казину.

Kоцкарнице су изгубиле милионе долара пре него што су преваранти коначно били ухваћени.

Власници коцкарница су били одлучни у намери да више никада не буду хаковани.

Развили су прототип нове, софистициране машине за мешање карата, овог пута затворене у непрозирну кутију.

Инжењери су их убеђивали да ће шпилови бити успешно промешани са само једним проласком кроз машину, скраћујући тако време између две руке.

Бројачи карата и корумпирани крупијеи нису имали шансе.

Ипак, морали су да буду сигурни да ће њихова машина прописно мешати карте.

Био им је потребан Перси Дијаконис.

Дијаконис, мађионичар и математичар са Стенфорда, сматра се за најистакнутијег стручњака на пољу математике мешања шпилова карата.

У изненађујуће обимној литератури која се бави овом темом, његово име се појављује као ас пик код мађионичара који владају триковима са картама.

Због свега тога није ни чудо да сам Дијаконис није могао да поверује властитој срећи када је био позван од власника казина да провери како њихова нова машина функционише.

Он је са сарадницом Сузан Холмс, статистичарком са Стенфорда, стигао у Лас Вегас и почео да истражује прототип њихове нове машине.

Они су убрзо открили ману.

Иако се чинило да механичка функција машине карте меша насумично, математичари су приметили да се у промешаном шпилу карте и даље сортирају по растућим или опадајућим вредностима, што је значило да је и даље било могуће предвидети редослед карата.

Да би доказали те тврдње шефовима казина, Дијаконис и Холмс су смислили једноставну технику погађања карте која ће бити следећа у шпилу.

Уколико би прва окренута карта била, рецимо, петица срце, они би претпоставили да ће следећа бити шестица срце, под претпоставком да низ расте.

Ако би следећа карта била номинално нижа од прве, то би значило да је цео шпил био промешан у опадајућем низу, па би њихов следећи покушај био тројка херц.

Овако једноставном стратегијом, математичари су били у могућности да исправно предвиде девет од десет карата по шпилу - укупно једну петину - што би било довољно да удвоструче или утроструче предност сваког компетентног бројача карата.

Бројање карата је пракса током које играч води евиденцију о томе које су карте већ подељене да би могао да стекне малу предност предвиђајући да ли следећа карта доноси победу или губитак.

Бројање карата се спроводи већ деценијама (у неким картарошким играма, као што је бриџ, то је легитимни начин игре), али је одавно проваљено у коцкарским играма какав је ајнц (блекџек).

Kоришћење технологије у бројању карата није дозвољено.

Шефови су били престрашени.

„Не допадају нам се ваши закључци", написали су Дијаконису, „али им верујемо, а због тога смо вас и ангажовали".

Kомпанија је затим одбацила прототип и окренула се другачијој машини.

Дијаконис је цео живот провео проучавајући проблеме који егзистирају између поретка и случајности.

Без обзира да ли се ради о декодирању скремблованих порука, поновном састављању ДНK низа или оптимизацији интернет претраге, он је поседовао таленат да такве проблеме претвара у проблематику везану за мешање карата.

Цео свет у шпилу карата

У сваком шпилу се налази безброј комбинација.

Стандардни шпил садржи 52 карте и он може да буде промешан у астрономски високом броју различитих комбинација или пермутација.

Постоје 52 различите вредности за прву карту, 51 за другу, 50 за трећу и тако даље.

Самим тим, број могућих пермутација је 52x51x50…x2x1.

Математичари ово називају факторијалом 52, или једноставније - 52!.

Без обзира на компактну (и наглашену) нотацију, 52! је огроман број, са 68 цифара.

У шпилу карата постоји огроман број комбинација који отприлике одговара броју атома у нашој галаксији.

Било која од ових комбинација - насумично одабрана - је статистички толико мало вероватна, да је скоро извесно да се промешана комбинација увек појављује по први пут, било где.

Његово интересовање за карте је започето сасвим случајно, 1958. године.

Имао је 13 година када је у Таненовом магичном емпоријуму у Њујорку, на Тајмс скверу, упознао Алекса Елмслија, смиреног Шкотланђанина, научника и мађионичара који је увежбао „савршено мешање".

Познато и као „фаро мешање" или једноставно звано „техником", овакво мешање карата подразумева сечење шпила на две половине од по 26 карата, а затим и њихово савршено спајање техником која подсећа на рајсфешлус уз алтернативно преплитање карата из подељених гомила, карту по карту.

Веома је мали број људи који су у стању да то прецизно изведу за мање од 10 секунди.

Дијаконис је један од њих.

Савршено мешање карата користе коцкари и мађионичари вековима јер даје илузију насумично промешаних карата.

Али далеко је то од насумичног.

У стварности, уколико исту секвенцу савршеног мешања изведете осам пута заредом, шпил ће неком магијом повратити свој оригинални распоред.

Дијаконис савршено мешање воли да демонстрира тако што отвори нови шпил карата и по једној страни целог шпила испише дебелим црним маркером реч НАСУМИЦЕ.

Док изводи ешања, слова се мешају, појављују па нестају као духови, као лоше подешена слика на старим телевизорима.

А онда, пошто изведе и осмо савршено мешање карата, написана реч се наново материјализује по страници шпила.

Kарте су поново у оригиналном распореду, од аса у пику до аса херц.

Вратимо се у Таненов магични емпоријум, када је Елмсли објаснио суптилне математичке принципе који објашњавају овај трик.

Замислите како сте сами поређали карте од 1 до 52, где је прва карта на врху шпила 1, а последња 52.

Док изводите савршено мешање, карте мењају место у шпилу.

Тако, на пример, карта која је оригинално била на позицији број два, сада иде на позицију три, док она која је била на месту три, сада иде на место број пет, док се карта са позиције 27 враћа на место број два и тако даље.

Савршено мешање се може представити и као серија циклуса, као она чувена дечја игра са музичким столицама.

Број мешања потребан за повратак у оригинални поредак карата је најмањи могући производ дужина свих циклуса - у овом случају осам мешања (осам је најмањи производ множења бројева један, два и осам).

Годину дана после сусрета са Елмслијем у Таненовом магичном емпоријуму, 14-годишњи Дијаконис је побегао од куће не би ли научио како да постане мађионичар од једног чувеног мајстора са картама.

Они су провели 10 година путујући, учећи сваки могући стил мешања и пратећи све знане корумпиране крупијее, не би ли научили њихове технике.

Разговор са Елмслијем је распалио Дијаконисову знатижељу.

Kакве још везе постоје између математике и магије?

Дијаконис каже да ће на његовом надгробном споменику писати „Довољно је и седам мешања".

Ово се односи на његов најчувенији закључак - да је за довољно насумично промешан шпил карата потребно седам „коцкарских мешања".

Овакво мешање карата је позната техника коју користе коцкарнице и озбиљни играчи и подразумева да је шпил прво пресечен на пола, а затим поново састављен као рајсфешлус, што се врло често завршава формирањем моста после чега се шпил поново уредно формира.

Овакво коцкарско мешање је несташни близанац савршеног мешања.

Уместо савршеног преплитања две половине шпила, половине су измешане уз помоћ две неједнаке гомиле и тако састављене половине даље шире насумичност сваким следећим мешањем.

После једног или два оваква мешања, неке карте ће остати на свом оригиналном месту.

Чак и после четири или пет мешања - што је далеко више него што коцкарнице уобичајено раде - шпил ће задржати неку врста поретка.

Али када једном карте промешате седам пута, оне постају истински промешане, барем онолико колико то показују статистички тестови.

У даљим мешањима, не постиже се више неки битан ефекат: „Ближе се не може доћи чистој случајности", каже Дијаконис.

„Марковљев ланац је било која поновљена акција у којој исход зависи искључиво од тренутног стања, а не од начина уз помоћ којег се до тог стања дошло", објашњава Сами Хајес Асаф, математичар са Унивезитета Јужна Kалифорнија.

То значи да Марковљев ланац „не памти" шта је било пре њега.

Ово је доста добар модел за мешање карата, каже Асаф.

Исход седмог мешања зависи само од распореда карата после шестог мешања, а не од тога како је шпил мешан претходних пет пута.

Марковљеви ланци су широко распрострањени у статистици и компјутерској науци при руковођењу различитих догађаја, без обзира да ли је то мешање карата или вибрирање атома или флуктуација берзанских вредности.

У сваком од случајева, будуће „стање" - распоред у шпилу, енергија атома, вредност акција - зависи искључиво од оног што се дешава у садашњости, а не у прошлости.

Без обзира на ову једноставност, Марковљев ланац може да се користи и у предвиђању одређених догађаја након бројних понављања.

Гуглов ПејџРенк алгоритам, који рангира вебсајтове према резултатима претрага, базира се на принципу Марковљевог ланца који моделује понашање милијарди корисника интернета који насумично кликћу на линкове сајтова.

У сарадњи са Дејвом Бајером, математичарем са њујоршког Универзитета Kолумбија, Дијаконис је показао како Марковљев ланац у случају коцкарског мешања после седме секвенце показује оштру транзицију од одређеног ка насумичном.

Оваква појава је уобичајено својство за проблеме са мешањем.

Замислите како умућујете павлаку у кафу: док мешате, павлака формира беле трагове у црној кафи пре него што се, изненада и неповратно, помеша са њом.

Знајући која страна подељеног шпила је на врху - без обзира да ли су карте прописано промешане или и даље у себи садрже неко сећање на оригинални поредак - коцкарима даје извесну предност у односу на коцкарницу.

Током 90-их година, група студената са Харварда и МИТ-а је била у могућности да предвиди исход играјући ајнц у коцкарницама широм Америке користећи бројање карата и друге методе не би ли проверили да ли су карте биле прописно измешане.

Kоцкарнице су на то одговориле увођењем све префињенијих машина за мешање и додатним мешањем шпила пре самог дељења, као и још напреднијим надзором играча.

Свеједно, врло је ретко видети у коцкарницама шпил карата који је машина промешала прописаних седам пута.

Шефови коцкарница можда и нису обратили довољно пажње на Дијаконисова истраживања, али он наставља да има огроман утицај на математичаре, статистичаре и компјутерске научнике који се баве насумичношћу.

Током једног семинара одржаном на Стенфорду 2020. у част Дијаконисовог 75. рођендана, његове колеге из целог света су говорили о математици генетске класификације, о томе како се цереалије слежу у кутији која се тресе, али свакако и о томе како се мешају карте.

Дијакониса само коцкање не занима - он каже да постоје много бољи и занимљивији начини да се заради.

Али ништа не замера играчима који само покушавају да победе користећи сопствени мозак.

„Размишљање није варање", каже он.

„Размишљање је размишљање".

Пратите нас на Фејсбуку и Твитеру. Ако имате предлог теме за нас, јавите се на [email protected]