Hafaliadau cydamserol
Gall hafaliadau sy’n cynnwys mwy nag un anhysbysyn gael nifer anfeidraidd o atebion sy’n eu gwneud yn wir. Er enghraifft, gallwn ddatrys \(2x + y = 10\) drwy gael:
- \(x = 1\) ac \(y = 8\)
- \(x = 2\) ac \(y = 6\)
- \(x = 3\) ac \(y = 4\)
Er mwyn gallu datrys hafaliad fel hwn, rhaid i ni ddefnyddio hafaliad arall ochr yn ochr ag ef. Drwy wneud hyn, mae’n bosib i ni ganfod yr unig bâr o werthoedd sy’n datrys y ddau hafaliad ar yr un pryd. Yr enw ar y rhain yw hafaliadau cydamserol.
Dyma rai enghreifftiau:
\(3x + y = 11\)
\(2x + y = 8\)
Mae gwerthoedd \(x\) ac \(y\) yr un peth yn y ddau hafaliad. Gallwn ddefnyddio’r ffaith hon i’n helpu i ddatrys y ddau hafaliad cydamserol ar yr un pryd a chanfod gwerthoedd \(x\) ac \(y\).
Datrys hafaliadau cydamserol drwy gael gwared ag anhysbysyn
Y dull mwyaf cyffredin ar gyfer datrys hafaliadau cydamserol yw’r dull dileu. Golyga hyn y byddwn yn cael gwared ag un llythyren o’r hafaliad drwy ddefnyddio algebra. Yna gallwn gyfrifo’r llythyren sydd ar ôl. Gallwn wneud hyn os yw cyfernodYn yr hafaliad 4x + 9 = 1, y rhif, 4, sy’n lluosi’r x yw cyfernod x. un o’r llythrennau’r un fath, beth bynnag fo’r arwydd.
Enghraifft
Datrysa’r hafaliadau cydamserol hyn:
\(3x + y = 11\)
\(2x + y = 8\)
Yn gyntaf, penderfyna pa newidyn sydd â’r un cyfernod. Yn yr enghraifft hon, mae hyn yn wir am y llythyren \(y\), sydd â chyfernod o 1 yn y ddau hafaliad.
Rhaid i ni naill ai adio neu dynnu’r ddau hafaliad o’i gilydd er mwyn cael gwared â’r llythyren \(y\). Yn yr enghraifft hon, bydd yn rhaid i ni dynnu un hafaliad o’r llall gan fod \(y - y = 0\).
Pe bai’r hafaliadau’n cael eu hadio at ei gilydd, yna byddai gennyn ni \(y + y = 2y\), ac felly ni fydden ni wedi cael gwared â’r llythyren \(y\).
\(\begin{array}{ccccc} 3x & + & y & = & 11 \\ - && - && - \\ 2x & + & y & = & 8 \\ = && = && = \\ x &&& = & 3 \end{array}\)
Gall gwerth \(x\) nawr gael ei amnewid yn y naill hafaliad neu’r llall er mwyn canfod gwerth \(y\).
Amnewidia \(x = 3\) yn naill ai \(3x + y = 11\) neu \(2x + y = 8\).
\(3x + y = 11\) pan fo \(x = 3\)
Amnewidia \(x = 3\):
\(3~\mathbf{\times~3} + y = 11\)
\(9 + y = 11\)
Canfydda werth \(y\) gan ddefnyddio gweithrediad gwrthdroGweithrediadau gwrthdro yw cyfrifiadau gwrthdro sy’n cael eu defnyddio’n aml wrth ddatrys hafaliadau. I gael gwared ar +9 o sym, gwna’r gweithrediad gwrthdro, sef -9. i ddatrys hafaliadau. Y gwrthdro o adio 9 yw tynnu 9, felly tynna 9 o’r ddwy ochr:
\(9 + y - 9 = 11 - 9\)
\(y = 2\)
Gwiria’r atebion drwy amnewid y ddau werth yn yr hafaliad gwreiddiol arall. Os yw’r hafaliad yn cydbwyso, yna mae’r atebion yn gywir:
\(2x + y = 8\) pan fo \(x = 3\) ac \(y = 2\).
\(2~\mathbf{\times~3} + \mathbf{2} = 8\)
\(6 + 2 = 8\)
\(8 = 8\)
