Pourquoi les dieux ont retardé l'arrivée des probabilités mathématiques (et comment un jeu de hasard a donné naissance à cette théorie)

Au milieu du VIe siècle, le roi Crésus de Lydie est en difficulté. Il régnait sur un puissant empire en Anatolie et était si magnifiquement opulent que son nom était, et est toujours, synonyme de richesse.

Troublé par la puissance croissante de la Perse, il envoie des messagers avec des offrandes au seul lieu de divination en lequel il a confiance : le temple d'Apollon à Delphes.

Sa question était de savoir s'il devait envoyer une armée contre les Perses.

« Le jugement donné à Crésus proclamait que s'il envoyait une armée contre les Perses, il détruirait un grand empire », raconte l'historien grec Hérodote.

Il attaqua, encouragé par la parole divine de la mystérieuse prêtresse Pythie, et c'est effectivement un grand empire qui fut détruit : le sien.

C'est l'une des prophéties les plus célèbres, non seulement parce qu'elle est ingénieuse, mais aussi parce qu'elle sert d'avertissement sur le risque de mal interpréter les messages et sur l'importance de l'humilité.

Mais, pour être juste, Crésus n'a pas été le seul à se tromper dans l'interprétation des prophéties de l'oracle de Delphes, car elles étaient énigmatiques et souvent ambiguës.

Malgré cela, tous ceux qui le pouvaient se rendaient à la Pythie pour obtenir les conseils divins d'Apollon sur des questions allant des affaires d'État aux problèmes personnels.

Il existait d'autres dieux et d'autres oracles, et si l'on voulait savoir ce qui allait se passer dans l'avenir pour réduire le risque d'échec ou de calamité, on les consultait.

Cet empressement à essayer de prédire ses chances ne s'est pas démenti lorsque, au IVe siècle après J.-C., la Rome chrétienne nouvellement convertie a discrédité l'autorité de l'oracle de Delphes.

Les Romains de l'Antiquité avaient leurs propres méthodes pour prédire l'avenir, dont une qui faisait appel à une création de la déesse Fortuna : les dés.

Des empereurs, qui jouaient leur vie et celle de leurs soldats, aux roturiers, qui jouaient leurs biens dans les tavernes, les Romains croyaient que le hasard (du latin alea ou dé) était régi par le destin et la faveur des dieux.

Ils pouvaient donc lancer les dés et consulter un ouvrage de référence qui indiquait ce que le résultat du dé signifiait pour leurs chances", explique Mary Beard, spécialiste des études classiques.

« Le jeu n'était pas seulement un passe-temps, c'était aussi un moyen pour les Romains de faire face au risque, au danger, à l'incertitude », explique l'experte dans la série de la BBC « At your own peril » (À vos risques et périls).

Toutefois, les textes anciens montrent que les Romains ne comprenaient pas parfaitement le concept de probabilité et ses règles mathématiques.

Notre mot « probabilité » vient du latin probabilĭtas, mais il signifiait très occasionnellement « probable ». Le plus souvent, il signifiait "approbation"", explique M. Beard.

Il est surprenant que l'émergence d'une théorie des probabilités, et donc d'un moyen de mesurer le risque, ait pris autant de temps.

Il a fallu attendre le milieu du XVIIe siècle pour franchir ce seuil imaginaire et la découvrir, ou peut-être l'inventer.

Un concept étrange

La raison pour laquelle les anciens ne se sont pas penchés sur la science des probabilités reste un mystère, surtout si l'on considère à quel point leurs mathématiques étaient devenues sophistiquées et imaginatives.

« Dans une certaine mesure, ils avaient un ensemble de règles générales à ce sujet, mais ils ne l'ont pas théorisé », explique Beard.

« Je pense que c'est en partie parce qu'ils avaient une compréhension différente de la science et des connaissances culturelles. »

« Nous concevons les probabilités comme des statistiques et des mathématiques », ajoute-t-il. « L'intérêt des anciens était de savoir dans quelle mesure elles étaient liées au divin, dans quelle mesure elles étaient l'œuvre de Dieu et dans quelle mesure elles étaient prévisibles. »

Il faudrait d'innombrables étapes mathématiques, de nombreux siècles et plusieurs transformations sociales, culturelles et politiques avant que le saut final vers les probabilités puisse être réalisé.

Et ce n'est pas un hasard si son apparition a eu lieu pendant la Renaissance et les Lumières.

« On a beaucoup débattu des raisons de ce délai, de la question de savoir si cela était dû aux méthodes informatiques et si l'on pensait que le hasard était une fatalité. Mais cela a nécessité un changement radical de mentalité », note David Spiegelhalter, professeur émérite de statistiques à l'Université de Cambridge.

« Nous avons dû inventer l'idée de probabilité, car c'est un concept très étrange. On ne peut pas le mesurer directement comme le temps, le poids ou la distance », poursuit-il.

Ce n'est pas non plus une coïncidence si la découverte des probabilités a été faite aux tables de jeu.

L'inspiration est venue d'un joueur particulièrement philosophe, l'essayiste et mathématicien amateur français Antoine Gombaud, connu sous le nom de Chevalier de Méré.

Un problème spécifique

En 1654, Gombaud réfléchissait à ce qu'on appelle le problème du point ou problème du jeu interrompu.

Elle était apparue pour la première fois, à notre connaissance, 60 ans plus tôt, dans le traité « Summa de Arithmetica, Geometrica, Proportioni et Proportionalita » du frère franciscain et mathématicien Luca Pacioli.

La question était : si vous pariez sur un match qui a été gagné lorsqu'un joueur a accumulé un certain nombre de points, mais que le match a été arrêté avant que cela ne se produise, comment le pari devrait-il être divisé ?

Imaginez que vous et un ami lancez une pièce : la première personne à réussir six fois gagne.

Mais ils doivent suspendre lorsque votre ami est à 3 points de la victoire et que vous êtes à 2 points.

« On avait le sentiment que le pari devait être divisé d'une manière ou d'une autre de manière à ce que la personne la plus susceptible de gagner obtienne davantage », explique Spiegelhalter.

« Le défi consistait essentiellement à déterminer comment répartir la mise. »

Gombaud s'est tourné vers l'un des esprits les plus brillants de l'histoire : le mathématicien, physicien, philosophe et théologien français Blaise Pascal.

Pascal s'était mis à jouer lorsque ses médecins lui avaient conseillé d'éviter l'effort mental pour le bien de sa santé, mais il n'avait pas pu résister à la tentation.

Intrigué, il a noté que la solution devrait refléter les chances de chaque joueur de gagner compte tenu du score au moment où le jeu a été interrompu.

Cela signifiait inventer une nouvelle méthode d'analyse, il a donc fait appel à un autre des plus grands esprits de l'histoire, le mathématicien français Pierre de Fermat.

Dans un échange de lettres légendaire qui s'est étalé sur plusieurs semaines, ils ont posé les bases de la théorie des probabilités moderne.

Vous et votre ami

Si vous étiez curieux de savoir comment le butin du pari dans le jeu suspendu avec votre ami serait divisé, ne vous inquiétez pas.

Pascal a découvert un moyen simple de calculer ce partage. La clé réside dans ce que l'on appelle aujourd'hui le triangle de Pascal.

Le triangle est construit à partir de 1, puis les nombres sont placés en dessous en forme de triangle, chaque nombre dans le triangle étant la somme des deux nombres immédiatement au-dessus de lui.

Par exemple : le 4 que vous voyez dans la cinquième rangée est la somme de 1 + 3 au-dessus de lui, et ainsi de suite.

Dans le cas de votre partie interrompue, où il vous manquait 2 points pour gagner et où il manquait 3 points à votre ami, les 2 et 3 sont additionnés pour obtenir 5.

Vous devez donc utiliser la cinquième rangée du triangle.

Ensuite, vous additionnez les trois premiers chiffres (1 + 4 + 6 = 11) et les deux derniers (4 + 1 = 5), et la mise est divisée en fonction de ce rapport.

Vous obtenez donc 11/16 de la mise et votre ami 5/16.

Le pari de Pascal

Avec la solution au problème du point est venue une révolution dans la pensée humaine.

Nous avons découvert qu'en observant les événements passés, nous pouvions commencer à prédire les résultats futurs.

Le risque pourrait être calculé.

On pouvait choisir le chemin à suivre, car le destin n'était plus uniquement entre les mains des dieux.

Ironiquement, Pascal était profondément religieux et après une expérience mystique, il a renoncé aux mathématiques.

Dans une lettre à Fermat en 1660, il écrit : « Je considère cela comme le plus beau métier du monde ; mais rien de plus qu'un métier [...]. Je me suis lancé dans ces affaires pour une raison singulière : une fois satisfait, je n'y penserai peut-être plus jamais. »

Il mourut deux ans plus tard, mais, par un curieux retournement de situation, dans une œuvre publiée à titre posthume, intitulée Pensées , il laissa derrière lui l'un des paris les plus célèbres de tous les temps.

Dans ce qu'on appelle le pari de Pascal, l'âme éternelle était en jeu.

Le problème est que, dans le domaine de la foi, les êtres humains sont obligés de jouer parce qu'ils n'ont pas la capacité de savoir si Dieu existe ou non.

« La raison ne peut rien décider dans cette affaire », écrit-il.

Il n'y a donc pas d'autre choix que d'analyser les conséquences pratiques de chaque probabilité.

Si quelqu'un choisit de ne pas croire que cela existe et s'avère avoir raison, il ne gagne ni ne perd rien ; mais s'il a tort, il n'ira pas au paradis.

C'est-à-dire que quiconque choisit de croire qu'il existe, « s'il gagne, il gagne tout ; s'il perd, il ne perd rien ».

Il a donc conseillé : « Misez sur son existence sans hésitation. »

Meilleur que l'Oracle de Delphes ?

Les réalisations de Pascal et de Fermat ont ouvert la voie au développement de la théorie des probabilités, qui a démontré comment les événements futurs pouvaient être prédits avec un certain degré de précision.

Les connaissances se sont accumulées jusqu'à ce que l'idée émerge que les probabilités et les statistiques pourraient converger pour former une science bien définie et fermement fondée, apparemment avec des applications et des possibilités illimitées.

Aujourd'hui, elle imprègne presque tout, des décisions politiques, du marché boursier et des diagnostics médicaux au fonctionnement des feux de circulation, aux sports et aux achats en ligne.

Cependant, ce que produit la théorie des probabilités, ce sont des modèles et des prédictions, et non des reflets de la réalité.

Bien qu'il s'agisse d'un outil mathématique puissant, ce n'est pas une science exacte car il traite de l'incertitude et de la probabilité des événements, et non de la certitude absolue.

Ce que nous obtenons, après avoir analysé des phénomènes aléatoires, est une gamme de futurs possibles et la possibilité de leur réalisation.

Tout est basé sur la connaissance.

Il serait intéressant de savoir quelle réponse le roi Crésus de Lydie recevrait aujourd'hui concernant ses chances de victoire contre Cyrus II de Perse.

Le puissant dirigeant lydien pouvait rassembler des forces impressionnantes, plus de 100 000 hommes contre 50 000 pour les Perses, sa cavalerie était la meilleure du monde à l'époque et il était allié aux Spartiates.

Il est donc possible qu'un expert actuel lui donne plus (peut-être beaucoup plus) que 50 % de chances de gagner.

Ce qui est certain, c'est qu'il ne recevrait guère une réponse aussi précise que celle de l'Oracle de Delphes.

Quoi qu'il arrive, ce sera toujours 100 % correct.