An discriminant
Faodaidh freumhan nochdadh ann am parabola ann an 3 dòighean mar a chì thu san diagram gu h-ìosal:
Ann an diagram A, chì sinn gu bheil 2 fhreumh aig a' pharabola seo; tha 1 fhreumh aig diagram B agus chan eil freumhan idir aig diagram C.
Seallaidh an discriminant an seòrsa fhreumhan a th' aig co-aontar.
Tha an discriminant airson co-aontar ceàrnanach \(a{x^2} + bx + c = 0\) aig \({b^2} - 4ac\). Faodaidh sinn an seòrsa freumh a th' aig co-aontar obrachadh a-mach mar seo:
- Ma tha \({b^2} - 4ac\textgreater0\), tha na freumhan fìor agus neo-ionann (diagram A)
- Ma tha \({b^2} - 4ac = 0\), tha na freumhan fìor agus co-ionann (diagram B)
- Ma tha \({b^2} - 4ac\textless0\), chan eil na freumhan fìor (diagram C)
Eisimpleir
Lorg nàdar nam freumhan aig \(2{x^2} + 3x - 6 = 0\)
Fuasgladh
\(a = 2,\,b = 3,c = - 6\)
\({b^2} - 4ac\)
\(= {(3)^2} - 4(2)( - 6)\)
\(= 9 - ( - 48)\)
\(= 57\)
Bhon a tha \({b^2} - 4ac\textgreater0\), tha na freumhan fìor agus neo-ionann.
Question
Anns an fhuincsean cheàrnanach \(y = (2x + 3)(x - 5)\) lorg nàdar nam freumhan agus an uair sin fuasgail.
An toiseach feumaidh sinn na camagan a thoirt air falbh le FOIL:
- First(An toiseach): Iomadaich a' chiad teirm anns gach camaig
- Outside(A-muigh): Iomadaich an teirm air taobh a-muigh gach camaig
- Inside(A-staigh): Iomadaich an teirm air taobh a-staigh gach camaig
- Last(Mu dheireadh): Iomadaich an teirm mu dheireadh anns gach camaig
\(y = (2x + 3)(x - 5)\)
\(y = 2{x^2} - 10x + 3x - 15\)
\(y = 2{x^2} - 7x - 15\)
A' cleachdadh an discriminant lorg nàdar:
\(a = 2,\,b = - 7,c = - 15\)
\({b^2} - 4ac\)
\(= {( - 7)^2} - (4 \times 2 \times - 15)\)
\(= 49 - ( - 120)\)
\(= 49 + 120\)
\(= 169\textgreater0\) agus mar sin tha na freumhan fìor agus neo-ionann.
Gus an co-aontar ceàrnanach fhuasgladh, bidh sinn a' dèanamh \(y = 0\). Seach gu bheil an ceàrnanach ann an riochd factaraichte mar-thà sa cheist, cleachdaidh sinn an riochd seo gus luachan a lorg airson \(x\).
\((2x + 3)(x - 5) = 0\)
\(2x + 3 = 0\)
\(2x = - 3\)
\(x = \frac{{ - 3}}{2}\)
No:
\(x - 5 = 0\)
\(x = 5\)
Question
Obraich a-mach luach(an) \(k\) ma tha \({x^2} + 2kx + 36 = 0\) aon fhreumh fìor aig.
Ma tha aon fhreumh fìor aig ceàrnanach, bidh \({b^2} - 4ac = 0\).
Mar sin feumaidh sinn seo fhuasgladh a' cleachdadh \(a = 1,\,b = 2k\,agus\,c = 36\)
\({b^2} - 4ac = 0\)
\({(2k)^2} - (4 \times 1 \times 36) = 0\)
\(4{k^2} - 144 = 0\)
\(4{k^2} = 144\)
\({k^2} = \frac{{144}}{4}\)
\({k^2} = 36\)
\(k = \sqrt {36}\)
\(k = \pm 6\)
