Logaritimean nàdarra
Eisimpleir (leudachadh)
Tha saideal fànais a' faotainn cumhachd bho rèidio-aidhseotop. Tha am mach-chur, ann an uatan, ga thoirt le \({w_t} = {w_o}{e^{kt}}\) far an e \(t\) an ùine ann an làithean. 'S e 60 uat mach-chur a' chumhachd nuair a tha i a' falbh dha na speuran.
(a) An dèidh 14 làithean, thuit mach-chur a' chumhachd gu 56 uatan. Obraich a-mach luach \(k\) gu trì ionadan deicheach.
(b) Chan obraich an saideal ceart ma thuiteas mach-chur a' chumhachd fo 5 uatan. Cia mheud latha a dh'obraicheas an saideal gu ceart?
Fuasgladh
(a) \({w_t} = {w_o}{e^{kt}}\)
Ionadaich a-steach dhan fhoirmle na luachan a tha a' nochdadh.
\(56 = 60{e^{14k}}\)
\({e^{14k}} = \frac{{56}}{{60}} = \frac{{14}}{{15}}\)
Sìmplich le bhith a' gabhail log nàdarra gach taoibh.
\({\log _e}{e^{14k}} = {\log _e}\left( {\frac{{14}}{{15}}} \right)\)
\(14k{\log _e}e = {\log _e}\left( {\frac{{14}}{{15}}} \right)\)
Cuimhnich \({\log_e}e = 1\), agus mar sin:
\(k = \frac{{{{\log }_e}\left( {\frac{{14}}{{15}}} \right)}}{{14}}\)
Cleachd àireamhair agus fuasgail:
\(k = - 0.005\,(gu\,3\,id.)\)
Mar sin 's e am foirmle a-nis: \({w_t} = 60{e^{ - 0.005t}}\)
(b) Nuair a tha \({w_t} = 5\) tha \(60{e^{ - 0.005t}} = 5\)
\({e^{ - 0.005t}} = \frac{5}{{60}} = \frac{1}{{12}}\)
Gabh an log air an dà thaobh.
\(- 0.005t{\log _e}e = {\log _e}\left( {\frac{1}{{12}}} \right)\)
\(- 0.005t = {\log _e}\left( {\frac{1}{{12}}} \right)\)
\(t = \frac{{{{\log }_e}\left( {\frac{1}{{12}}} \right)}}{{ - 0.005}}\)
Cleachd àireamhair agus fuasgail:
\(= 496.98\)
Bidh 496 làithean ann mus bi mach-chur a' chumhachd aig 5 uatan.
(Nota: air an 497mh latha, bidh mach-chur a' chumhachd fo 5 uatan.)
