Crìochan
Tha dàimh tillteachais loidhneach air a mhìneachadh le \({U_{n + 1}} = a{U_n} + b\) no \({U_n} = a{U_{n - 1}} + b\)
Tha an dàimh gu h-àrd a' dlùthachadh ri crìoch nuair a tha \(n \to \infty\), dìreach ma tha \(- 1\textless a \textless1\)
Airson a' chrìoch obrachadh a-mach, bidh sinn a' cleachdadh an fhoirmle:
\(\text{Crìoch} = \frac{b}{{(1 - a)}}\)
Mothaich nach eil a' chrìoch an crochadh air an luach aig \({U_1}\) no \({U_0}\).
Eisimpleir
Ma tha \({U_{n+1}}= 8U_n-0.5\) agus \({U_{n+1}}= 0.5\,\,{U_n}+8\) le \({U_1}= 2\) airson na dhà, 's dòcha gun tèid iarraidh ort fear dhe na leanas a dhèanamh:
- Obraich a-mach a' chiad trì teirmean airson gach dàimh
- Mìnich carson a bhios dàimh a' ruigheachd crìoch agus sgrìobh an luach aige
- Obraich a-mach luach \(n\) nuair a tha òrdugh a' dol thairis air àireamh shònraichte.
Thoir sùil orra seo fear mu seach:
Obraich a-mach a' chiad trì teirmean airson gach dàimh
\({U_{n + 1}} = 8{U_n} - 0.5\)
\({U_1} = 2\)
\({U_2} = 8(2) - 0.5 = 15.5\)
\({U_3} = 8(15.5) - 0.5 = 123.5\)
'S e a' chiad trì teirmean \(2,15.5\) agus \(123.5\)
\({U_{n + 1}} = 0.5{U_n} + 8\)
\({U_1} = 2\)
\({U_2} = 0.5(2) + 8 = 9\)
\({U_3} = 0.5(9) + 8 = 12.5\)
'S e a' chiad trì teirmean \(2,9\) agus \(12.5\)
Mìnich carson a bhios dàimh a' ruigheachd crìoch agus sgrìobh an luach aige
Feumaidh sinn mìneachadh a thoirt air carson nach bi ach aon dhe na h-òrdughan seo a' dlùthachadh ri crìoch nuair a tha \(n \to \infty\). An uair sin obraichidh sinn a-mach luach na crìch seo.
\({U_{n + 1}} = 8{U_n} - 0.5\)
\(a = 8\) agus \(b = - 0.5\). Airson crìoch a bhith ann \(- 1\textless a \textless1\).
Chan eil \(8\) eadar \(- 1\) agus \(1\). Mar sin chan eil crìoch ann dhan òrdugh seo nuair a tha \(n \to \infty\).
\({U_{n + 1}} = 0.5{U_n} + 8\)
\(a = 0.5\) agus \(b = 8\). Airson crìoch a bhith ann \(- 1\textless a \textless1\).
Tha \(0.5\) eadar \(- 1\) agus \(1\). Mar sin chan eil crìoch ann dhan òrdugh seo nuair a tha \(n \to \infty\).
\(\text{Crìoch} = \frac{b}{{(1 - a)}}\)
\(= \frac{8}{{(1 - 0.5)}} = \frac{8}{{0.5}}\)
\(= \frac{{80}}{5} = 16\)
\(\text{Crìoch} = 16\)
Obraich a-mach luach n nuair a tha òrdugh a' dol thairis air àireamh shònraichte
Airson an òrduigh eile, obraich a-mach a' chiad luach aig \(n\) nuair a tha an t-òrdugh a' dol thairis air 6000. An uair sin obraich a-mach luach an teirm seo.
\({U_{n + 1}} = 8{U_n} - 0.5\)
\({U_1} = 2\)
\({U_2} = 8(2) - 0.5 = 15.5\)
\({U_3} = 8(15.5) - 0.5 = 123.5\)
\({U_4} = 8(123.5) - 0.5 = 987.5\)
\({U_5} = 8(987.5) - 0.5 = 7899.5\)
Bhon obrachadh gu h-àrd:
\({U_5}\textgreater6000 \Rightarrow n = 5\)
\({U_5} = 7899.5\)
