Datrys hafaliadau cwadratig
Mae tair prif ffordd i ddatrys hafaliadau cwadratig:
- ffactorio
- defnyddio’r fformiwla gwadratig
- ar ffurf graff
Gad i ni edrych ar y tair ffordd, un ar y tro.
Enghraifft un
Canfydda’r atebion ar gyfer yr hafaliad \({x}\)2 + 9\({x}\) + 14 = 0
Dull un: ffactorio
Gallwn ffactorio’r hafaliad uchod i roi (\({x}\) + 2)(\({x}\) + 7) = 0
Darllena dudalennau dau a phedwar o’r canllaw hwn am awgrymiadau ar sut i wneud hyn.
Er mwyn i (\({x}\) + 2)(\({x}\) + 7) fod yn hafal i sero, rhaid i naill ai’r gromfach gyntaf neu’r ail gromfach fod yn hafal i sero. Golyga hyn fod \({x}\) yn naill ai –2 neu –7.
Os yw \({x}\) = –2 mae gennyn ni: (0) x (5) = 0.
Os yw \({x}\) = –7 mae gennyn ni: (–5) x (0) = 0.
Felly atebion yr hafaliad yw \({x}\) = –2 a \({x}\) = –7.
Dull dau: y fformiwla gwadratig
Gallwn ddatrys mynegiadau ar ffurf \({ax}\)2 + \({bx}\) + \({c}\) = 0 gan ddefnyddio’r fformiwla gwadratig:
\({x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}}\)
Er mwyn defnyddio’r fformiwla hon, yn syml, rydyn ni’n amnewid y gwerthoedd o’n hafaliad a chyfrifo’r canlyniad.
Mae gennyn ni \({x}\)2 + 9\({x}\) + 14 = 0 felly:
\({a}\) = 1 (1 yw \({a}\) gan mai un set o \({x}\)2 sydd gennyn ni)
\({b}\) = 9
\({c}\) = 14
Pan fyddwn yn eu hamnewid yn y fformiwla gwadratig, cawn:
\({x = \frac{ - 9 \pm \sqrt {9^2 - 4~\times1\times14} }{{2}~\times~1}}\)
\({x = \frac{ - 9 \pm \sqrt {81 - 56} }{{2}}}\)
\({x = \frac{ - 9 \pm \sqrt {25} }{{2}}}\)
\({x = \frac{ - 9 \pm 5 }{{2}}}\)
Nawr rydyn ni’n haneru’r hafaliad yn ddau oherwydd yr arwydd ±.
\({x = \frac{ - 9 + 5 }{{2}}}\) a \({x = \frac{ - 9 - 5 }{{2}}}\)
\({x = \frac{ - 4 }{{2}}}\) a \({x = \frac{ - 14 }{{2}}}\)
Sy’n rhoi:
\({x = -2}\) a \({x = -7}\) fel ag o’r blaen.
Dull tri: ar ffurf graff
Plotia graff y = \({x}\)2 + 9\({x}\) + 14
Cawn ein hatebion lle mae’r graff yn croesi’r llinell \({y}\) = 0.
Gan fod y graff yn un cwadratig, gallwn weld bod y llinell yn croesi’r echelin-\({x}\) ddwywaith, unwaith yn \({x}\) = –7 ac unwaith yn \({x}\) = –2. Felly’r atebion yw \({x}\) = –7 a \({x}\) = –2.
Enghraifft dau
Datrysa’r hafaliad: \({x}\)2 – 252 = 0
Dull un: ffactorio
\({x}\)2 – 252 = (\({x}\) – 25)(\({x}\) + 25) = 0
Felly naill ai (\({x}\) – 25) neu (\({x}\) + 25) = 0
Mae hyn yn golygu bod \({x}\) = 25 neu \({x}\) = –25
Felly ein hatebion yw \({x}\) = 25 a \({x}\) = –25
Dull dau: y fformiwla gwadratig
Mae gennyn ni \({x}\)2 – 252 = 0 sy’n rhoi’r gwerthoedd canlynol i’w hamnewid yn y fformiwla gwadratig:
\({a}\) = 1
\({b}\) = 0
\({c}\) = –252 = –625
\({x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}}\)
Felly drwy amnewid y gwerthoedd cawn:
\({x = \frac{ \pm \sqrt {-4 \times -625} }{{2}}}\)
\({x = \frac{ \pm \sqrt {2500} }{{2}}}\)
\({x = \frac{ \pm {50} }{{2}}}\)
\({x = -25}~a~{x = 25}\)
Dull tri: ar ffurf graff
Plotio graff \({y}\) = \({x}\)2 – 252
O’r graff, gwelwn fod yna ddau bwynt croestoriad, un yn –25 a’r llall yn 25.
Ein hatebion yw \({x}\) = 25 a \({x}\) = –25.
Pa ddull ddylwn i ei ddewis?
Fel arfer, mae’n eithaf anodd plotio a darllen atebion hafaliadau cwadratig yn gywir drwy ddefnyddio graff – felly paid â defnyddio’r dull hwn onibai bod y cwestiwn yn gofyn amdano’n benodol.
Nid yw atebion rhai hafaliadau cwadratig yn rhifau cyfan, byddai’r rhain yn anodd iawn i’w ffactorio felly defnyddir y fformiwla gwadratig.
