A' cleachdadh acosx + bsinx
Uair sam bith a gheibh thu abairt san riochd, \(a\cos x + b\sin x\) tha e nas fheàrr an abairt a sgrìobhadh ann an aon de na riochdan \(k\cos (x \pm \alpha )\) no \(k\sin (x \pm \alpha )\) mus freagair thu a' cheist.
Nuair a bhios tu air an riochd seo ath-sgrìobhadh, obraichidh tu a-mach:
- an luach as motha, a th' air a thoirt dhut le \(k\) (bhon as e 1 an luach as motha aig sine/cosine)
- an luach as lugha, a th' air a thoirt dhut le \(- k\) (bhon as e -1 an luach as lugha aig sine/cosine)
- gu bheil na freumhan aig \(a\cos x + b\sin x = 0\) ann nuair a tha an dara cuid \(\sin (x \pm \alpha ) = 0\) no \(\cos (x \pm \alpha ) = 0\)
Faodaidh tu cuideachd am fiosrachadh gu h-àrd a chleachdadh gus sgeidse a dhèanamh dhen ghraf aig \(y = a\cos x + b\sin x\).
Seo eisimpleir a sheallas dhut mar a bhios na puingean seo ag obrachadh.
Eisimpleir
Faodaidh sinn \(\sqrt 5 \sin x + 2\cos x\) ath-sgrìobhadh mar \(3\cos (x - 0.841)\)
Faodaidh tu do sgilean a thoirt air adhart le bhith a' feuchainn ri fhaighinn dhan riochd seo thu fhèin.
- 1. Sgriobh na luachan as motha agus as lugha aig \(\sqrt 5 \sin x + 2\cos x\) agus an luach(an) aig \(x\) anns a' bheàrn \(0 \le x \le 2\pi\) far a bheil iad sin a' nochdadh.
- 2. Obraich a-mach freumhan a' cho-aontair \(\sqrt 5 \sin x + 2\cos x = 0\) anns a' bheàrn \(0 \le x \le 2\pi\)
- 3. Sgeids an graf aig \(y = \sqrt 5 \sin x + 2\cos x\) airson \(0 \le x \le 2\pi\)
- 4. Gus na luachan as motha agus as lugha obrachadh a-mach, dìreach coimhead air a' cho-aontar san riochd ath-sgrìobhte aige. Tha na luachan as motha agus as lugha air an toirt dhuinn le \(k\) agus \(- k\) san òrdugh sin.
Mar sin, 's e 3 an luach as motha an seo. Tha seo a' tachairt nuair a tha \(\cos (x - 0.841) = 1\) agus mar sin tha \(x-0.841=\pi\) no \(2\pi\).
Cha choimhead sinn air \(2\pi + 0.841\) mar fhuasgladh comasach oir chan eil e san raon chomharraichte. Tha sin a' fàgail \(x = 0.841\).
'S e -3 an luach nuair a tha \(cos (x-0.841)= -1\) agus mar sin tha \(x-0.841=\pi\).
Fuasgail an co-aontar seo gus am faigh thu \(x = \pi + 0.841 = 3.983\)
- 5. Tha freumhan a' cho-aontair far a bheil an graf a' trasnadh an \(x\)-axis. An seo faodaidh sinn a ràdh gu bheil na freumhan ann nuair a tha cosine a' cheàirn aig neoni.
\(\sqrt 5 \sin x + 2\cos x = 0 \Leftrightarrow 3\cos (x - 0.841) = 0\)
Mar sin \(\cos (x - 0.841) = 0\)
Agus \(x - 0.841 = \frac{\pi }{2}\) no \(\frac{{3\pi }}{2}\)
Mar sin \(x = \frac{\pi }{2} + 0.841\) no \(\frac{{3\pi }}{2} + 0.841\)
\(x = 2.412\,no\,5.553\)
- 6. Le bhith a' comharrachadh nam puingean eadar 1. agus 2. gu h-àrd, gheibh sinn an graf a leanas:
Chì thu mar a tha am pròiseas ag obrachadh san eisimpleir gu h-ìosal.
Question
Fuasgail \(\cos x - \sin x = \frac{1}{2}\) airson \(0 \le x \le 2\pi\)
'S e an riochd as freagarraiche airson seo \(k\cos (x + \alpha )\) agus mar sin tha \(\cos x - \sin x\) a' dol gu \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).
Feuch gun tèid agad fhèin air seo obrachadh a-mach. Mura bheil thu cinnteach, theirig air ais chun na h-earrainn roimhe agus thoir sùil eile air a' phròiseas.
Mar sin tha \(\cos x - \sin x = \frac{1}{2}\) air fhuasgladh le \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\)
\(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\) agus mar sin:
\(x + \frac{\pi }{4} = {\cos ^{ - 1}}\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\) a' toirt:
\(x + \frac{\pi }{4} = 1.209\) no \(5.074\)
Mar sin \(x = 1.209 - \frac{\pi }{4}\) no \(5.074 - \frac{\pi }{4}\)
Cuimhnich gu bheil dà fhuasgladh ann.
Mar sin \(x = 0.424\) no \(\,4.289\) gu trì ionadan deicheach.
Mar sin 's e an dà fhuasgladh \(\{ 0.424,\,4.289\}\)
