Fuincseanan a' meudachadh agus a' beagachadh
Tha graf de fhuincsean ceàrnanach gu h-ìosal agus tha e a' sealltainn far a bheil am fuincsean a' meudachadh agus a' beagachadh.
Ma chuireas sinn ann na tansaintean don lùib, chì thu gu bheil am fuincsean a' meudachadh ma tha caisead an tansaint dearbhte, agus gu bheil e a' beagachadh ma tha an caisead àicheil.
Gus caisead nan tansaintean obrachadh a-mach, bidh sinn a' diofarachadh gus luach iomchaidh \(x\) ionadachadh a-steach. Mar sin nuair a tha an:
- \(\frac{{dy}}{{dx}}\textgreater0\) (Tha caisead dearbhte a' ciallachadh gu bheil an loidhne a' lùbadh suas chun an taoibh dheis.)\(\to\) Tha am fuinsean a' meudachadh
- \(\frac{{dy}}{{dx}} = 0\)\(\to\)Tha am fuincsean suidhichte
- \(\frac{{dy}}{{dx}}\textless0\) (Tha caisead àicheil a' ciallachadh gu bheil an loidhne a' lùbadh sìos chun an taoibh dheis.)\(\to\) Tha am fuincsean a' beagachadh
Tha a' phuing-tionndaidh far a bheil e suidhichte (chan eil e a' dol suas no sìos) air an lùib. Sin an t-adhbhar gun canar puingean suidhichte ri puingean-tionndaidh.
Eisimpleir 1
A bheil an lùb \(y = {x^2} - 6x\) a' meudachadh no a' beagachadh aig a' phuing \(x = 5?\)
Fuasgladh
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 2x - 6\)
Nuair a tha \(x = 5\),
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 2(5) - 6\)
\(= 10 - 6 = 4\)
Bhon a tha \(\frac{{dy}}{{dx}}\textgreater0\) tha an lùb a' meudachadh aig a' phuing \(x = 5\).
Ma tha fios againn far a bheil puing-tionndaidh na lùib, thèid againn air seo a chleachdadh gus an nàdar a dhearbhadh (co-dhiù a bheil an graf a' meudachadh/a' beagachadh) gu clì no deas dhen phuing shuidhichte.
Eisimpleir 2
Lorg na beàrnan anns a bheil am fuincsean \(y = {x^3} - 3{x^2} + 8\) a' meudachadh agus a' beagachadh nuair a tha na puingean suidhichte aig \(x = 0\) agus \(x = 2\).
Fuasgladh
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 3{x^2} - 6\)
Gus cumadh na lùib a dhearbhadh, bidh sinn a' cleachdadh clàr gus an nàdar a shealltainn gu clì agus gu deas air na puingean suidhichte.
Gus an nàdar gu clì air a' phuing shuidhichte obrachadh a-mach, bidh thu a' cleachdadh luach airson \(x\) a tha beagan nas lugha na an luach suidhichte. Gus nàdar na puing shuidhichte air an taobh dheas obrachadh a-mach, tagh luach airson \(x\) a tha beagan nas motha.
Gabh luach mu seach airson \(x\) agus ionadaich a-steach do \(\frac{{dy}}{{dx}}\) gus obrachadh a-mach a bheil e nas motha, nas lugha no co-ionann ri neoni, gus cumadh na lùib a dhearbhadh.
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 3{( - 1)^2} - 6( - 1) = 3 + 6 = 9\) (dearbhte)
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 3{(0)^2} - 6(0) = 0 - 0 = 0\) (suidhichte)
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 3{(1)^2} - 6(1) = 3 - 6 = - 3\) (àicheil)
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 3{(2)^2} - 6(2) = 12 - 12 = 0\) (suidhichte)
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 3{(3)^2} - 6(3) = 27 - 18 = 9\) (dearbhte)
Mar sin:
Tha am fuincsean a' meudachadh nuair a tha \(x\textless0\) agus \(x\textgreater2\).
Tha am fuincsean a' beagachadh nuair a tha \(0\textless x\textless2\).
