Darlunio cyfrannedd union a gwrthdro
Sut rydyn ni’n gwybod a yw graff yn cynrychioli cyfrannedd union neu wrthdro? Rydyn ni’n edrych ar nodweddion penodol o’r graff ac yn gwneud rhai cyfrifiadau prawf er mwyn ein helpu i benderfynu.
Edrycha ar y graff hwn:
Mae’r graff yn dangos bod y pellter a deithiwyd a’r amser a gymerwyd mewn cyfrannedd, ond sut rydyn ni’n gwybod hynny?
Sylwa fod y graff yn llinell syth sy’n cychwyn o’r tarddbwynt. Pan welwn ni hyn, rydyn ni'n gwybod bod y ddau beth sy’n cael eu mesur ar y graff mewn cyfrannedd union. Er hyn, edrycha’n ofalus ar y graddfeydd ar y graff - cymer ofal os nad ydyn nhw’n cychwyn yn (0,0) neu os nad ydyn nhw’n llinol.
Edrycha ar y gwerthoedd ar y ddwy echelin – pan fo echelin y pellter yn 4, mae echelin yr amser yn 2, pan fo echelin y pellter yn dangos 8, mae echelin yr amser yn dangos 4. Mae hyn yn golygu os bydd un o’r newidynnau’n dyblu mae’r newidyn arall yn dyblu hefyd - dyma’r prawf ar gyfer cyfrannedd. Os yw’r amod hwn yn wir a’r graff yn llinell syth, yna mae’n rhaid bod gennyn ni berthynas sydd mewn cyfrannedd union.
Mae yna ddiben arall i’r gwerthoedd ar yr echelinau gan eu bod yn ein galluogi i ganfod y cysonyn cyfrannol o’r graff, fel y gallwn ddisgrifio’r berthynas drwy ddefnyddio hafaliad. Edrycha ar werth yr amser pan fo’r pellter yn 40, dylet allu gweld ei fod yn 20. Golyga hyn mai’r cysonyn cyfrannol, sy’n cysylltu pellter ac amser, yw 40 ÷ 20 = 2.
\({pellter}∝{amser}\)
Drwy gael gwared â’r arwydd cyfrannedd ac ychwanegu’r cysonyn cyfrannol, cawn:
\({pellter}={k}\times{amser}\)
Drwy ad-drefnu cawn:
\({k}=\frac{pellter}{amser}=\frac{40}{20}={2}\)
Felly, i orffen, gallwn ysgrifennu:
\({pellter}={2}\times{amser}\) neu \({p}={2a}\)
Os bydden ni eisiau sicrhau mai \({amser}\) yw testun yr hafaliad, byddai’n rhaid i ni rannu dwy ochr yr hafaliad â 2. Byddai hyn yn rhoi:
\({a}=\frac{p}{2}\)
Question
Pa rai o’r graffiau canlynol sy’n dangos cyfrannedd union? Gyda’r rhai sy’n dangos cyfrannedd union, cyfrifa’r cysonyn cyfrannol.
Mae Graff B yn dangos perthynas gyfrannol ond nid yw Graff A. Rydyn ni’n gwybod nad yw Graff A mewn cyfrannedd oherwydd, pan fo’r echelin-\({y}\) yn dangos 4, er enghraifft, mae’r echelin-\({x}\) yn dangos 0. Os rydyn ni’n dyblu 4 i gael 8 ar yr echelin-\({y}\), bydden ni’n disgwyl i werth yr echelin-\({x}\) ddyblu hefyd. Gan nad yw hyn yn wir, nid yw’r graff yn dangos perthynas gyfrannol.
Rydyn ni’n gwybod bod Graff B yn dangos perthynas gyfrannol oherwydd, os edrychwn ni ar y gwerth ar yr echelin-\({x}\) pan fo’r echelin-\({y}\) yn 75, gwelwn ei fod yn 50. Pan rydyn ni’n dyblu’r gwerth ar yr echelin-\({y}\) i gael 150 ac yn edrych am y gwerth cyfatebol ar yr echelin-\({x}\), gwelwn ei fod yn 100. Felly mae hwnnw wedi dyblu hefyd ac felly mae’r berthynas mewn cyfrannedd.
I ganfod y cysonyn cyfrannol, mae angen i ni rannu gwerth ar yr echelin-\({y}\) â gwerth cyfatebol ar yr echelin-\({x}\): 300 ÷ 200 = 1.5
Gallwn felly ysgrifennu:
\({incwm}={1.5}\times{llyfrau~a~werthwyd}\)
Cyfrannedd gwrthdro
I adnabod cyfrannedd gwrthdro, mae arnon ni angen gwahanol set o reolau. Yn gyntaf, dylen ni nodi na all graffiau llinell syth ddangos perthynas wrthdro, felly rydyn ni’n chwilio am gromliniau.
Mae’r graff hwn yn dangos perthynas gyfrannol wrthdro, ond sut rydyn ni’n gwybod hynny? Y nodwedd fwyaf amlwg mewn cyfrannedd gwrthdro yw pan fo un newidyn yn dyblu, mae’r llall yn haneru. Gad i ni weld a yw hyn yn wir.
Pan fo echelin-\({y}\) y graff yn dangos 1, mae’r gwerth cyfatebol ar yr echelin-\({x}\) hefyd yn dangos 1. Os rydyn ni’n dyblu’r gwerth ar yr echelin-\({x}\) rydyn ni’n cael 2, ac mae hyn yn cyfateb i 0.5 ar yr echelin-\({y}\). Mae hyn yn cadarnhau bod y graff yn dangos cyfrannedd gwrthdro, gan fod un newidyn yn haneru wrth i’r llall ddyblu.
Drwy ysgrifennu hyn ar ffurf algebra, gallwn ddweud bod:
\({p}∝\frac{1}{g}\)
Drwy gael gwared â’r arwydd cyfrannedd ac ychwanegu cysonyn cyfrannol, cawn:
\({p}=\frac{k}{g}\)
A thrwy ad-drefnu i gael \({k}\):
\({k}={p}\times{g}\)
Gan ddefnyddio set o werthoedd cyfatebol o’r graff (rydyn ni wedi dewis defnyddio 2 a 0.5) cawn:
\({k}={0.5}\times{2}={1}\)
Felly’r cysonyn cyfrannol yw 1.
Yn olaf, gallwn ddweud bod:
\({p}=\frac{1}{g}\)
