Quel est le "problème du baiser" qui préoccupe les mathématiciens depuis des siècles ?

Tout a commencé au XVIe siècle avec le célèbre explorateur ou pirate (selon le point de vue) Sir Walter Raleigh. Ce qui peut vous surprendre à la lecture du titre, car il n'était pas mathématicien et, pour autant que nous le sachions, n'avait pas de problème avec les baisers.

Ce qu'il avait, c'était des boulets de canon et une question : quelle était la manière la plus efficace de les empiler afin de minimiser au maximum l'espace qu'ils occupaient sur ses navires.

Il s'agissait d'un problème mathématique, et en mathématiques, les balles sont des sphères, et les "baisers" sont les points où une sphère en touche une autre.

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La question de Raleigh allait engendrer un mystère mathématique qui allait occuper de brillants esprits pendant des centaines d'années.

Il interroge son conseiller scientifique lors de son voyage en Amérique en 1585, l'éminent mathématicien Thomas Harriot, qui lui donne la solution :

La meilleure façon de ranger ses boulets est de les disposer en forme de pyramide.

Dans un manuscrit de 1591, Harriot lui fait un tableau dans lequel il montre comment, à partir du nombre de boulets, on peut calculer combien il faut en placer à la base d'une pyramide à base triangulaire, carrée ou oblongue.

Mais l'esprit d'Harriot ne s'arrête pas là et il réfléchit aux implications pour la théorie atomique de la matière, en vogue à l'époque.

En discutant de cette théorie dans sa correspondance avec son ami Johannes Kepler, le célèbre astronome, il a mentionné le problème de l'emballage.

Kepler a supposé que la meilleure façon de minimiser l'espace laissé par les interstices entre les sphères était de faire en sorte que les centres des sphères de chaque couche se trouvent au-dessus de l'endroit où les sphères s'embrassent dans la couche inférieure.

C'est ce que l'on fait souvent avec les fruits sur les marchés.

Ce qui semble intuitivement évident s'est avéré extrêmement difficile à prouver mathématiquement.

Bien que beaucoup s'y soient essayés, y compris le "prince des mathématiques" Johann Carl Friedrich Gauss, elle n'a été prouvée que près de quatre siècles plus tard, en 1998, grâce aux travaux de Thomas Hales de l'Université du Michigan et à la puissance d'un ordinateur.

Et même cette preuve n'a pas convaincu tous les mathématiciens ; aujourd'hui encore, certains ne la jugent pas à la hauteur de la conjecture de Kepler.

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Des inconnues tenaces

Ce n'était pas le seul mal de tête causé par les objets sphériques.

En fait, une vaste catégorie de problèmes mathématiques est appelée "problèmes d'empaquetage de sphères".

Leur résolution a servi à tout, de l'exploration de la structure des cristaux à l'optimisation des signaux envoyés par les téléphones portables, les sondes spatiales et l'internet.

Et tout comme Raleigh avec ses boulets de canon, la logistique, les matières premières et de nombreuses autres industries dépendent fortement des méthodes d'optimisation fournies par les mathématiques.

Les mathématiciens ont découvert, par exemple, que des sphères empilées au hasard occupent généralement un espace avec une densité d'environ 64 %. Mais si elles sont soigneusement disposées en couches nettes de formes spécifiques, cette densité peut atteindre 74 %.

Ces 10 % représentent des économies non seulement en termes de coûts de transport, mais aussi en termes de dommages causés à l'environnement.

Mais de telles applications pratiques nécessitent des preuves mathématiques, et l'empilement des sphères a donné lieu à des énigmes particulièrement difficiles, comme dans le cas de la conjecture de Kepler.

L'une d'entre elles est née d'une conversation entre Isaac Newton, l'un des plus grands scientifiques de tous les temps, et David Gregory, le premier professeur d'université à enseigner les théories avant-gardistes de Newton.

Il s'agissait d'un problème de nombre de baisers, mais...

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Qu'est-ce que c'est ?

Imaginez que vous ayez plusieurs cercles en carton de la même taille et que vous vouliez les coller sur une planche autour de l'un d'entre eux.

Le nombre de baisers est égal au nombre maximum de cercles que vous pouvez placer en embrassant - ou en touchant - le cercle central.

C'est aussi simple que cela.

Il se trouve que les mathématiciens ont démontré que l'on peut placer un maximum de 6 cercles autour du cercle initial, de sorte que le nombre de baisers est de 6.

Imaginez maintenant qu'au lieu de cercles en carton, vous ayez des balles en caoutchouc, toutes de la même taille.

La question est à nouveau la suivante : quel est le nombre maximum de balles que l'on peut placer autour d'une balle centrale ?

En ajoutant cette troisième dimension - le volume - la question de la spécification du nombre de baisers est devenue plus compliquée.

Et il a fallu deux siècles et demi pour la décompliquer.

Newton et Gregory

L'affaire a commencé avec la fameuse discussion entre Newton et Gregory, qui a eu lieu en 1694 sur le campus de l'Université de Cambridge.

Newton a déjà 51 ans et Gregory lui rend une visite de plusieurs jours au cours de laquelle ils parlent sans cesse de science.

La conversation était plutôt unilatérale, Gregory prenant des notes sur tout ce que disait le grand maître.

L'un des points abordés, et consigné dans le mémo de Gregory, est le nombre de planètes qui tournent autour du soleil.

À partir de là, la discussion prend une tangente et porte sur la question de savoir combien de sphères de même taille peuvent être superposées de manière concentrique, de sorte qu'elles touchent une sphère centrale.

Gregory affirma sans ambages que la première couche entourant une boule centrale comportait au maximum 13 sphères.

Pour Newton, le nombre de baisers était de 12.

Gregory et Newton n'ont jamais été d'accord et n'ont jamais su quelle était la bonne réponse.

Aujourd'hui, le fait que le plus grand nombre de sphères qu'une centrale électrique peut embrasser soit souvent appelé "nombre de Newton" révèle qui avait raison.

Le débat n'a cessé qu'en 1953, lorsque le mathématicien allemand Kurt Schütte et le Néerlandais B. L. van der Waerden ont prouvé que le nombre de Newton était le bon. L. van der Waerden a prouvé que le nombre de baisers en trois dimensions était de 12 et seulement de 12.

La question était importante car un groupe de sphères empilées aura un nombre moyen de baisers, ce qui permet de décrire la situation mathématiquement.

Mais il reste des questions non résolues.

Des milliers de baisers

Au-delà des dimensions 1 (les intervalles), 2 (les cercles) et 3 (les sphères), le problème des baisers n'est pratiquement pas résolu.

Il n'existe que deux autres cas où le nombre de baisers est connu.

En 2016, la mathématicienne ukrainienne Maryna Viazovska a établi que le nombre de baisers dans la dimension 8 est de 240, et dans la dimension 24 de 196 560.

Pour les autres dimensions, les mathématiciens ont lentement réduit les possibilités à des fourchettes étroites.

Pour les dimensions supérieures à 24, ou pour une théorie générale, le problème reste ouvert.

Plusieurs obstacles s'opposent à une solution complète, notamment des limitations informatiques, mais des progrès progressifs sur ce problème sont attendus dans les années à venir.

Mais quel est l'intérêt de tasser des sphères de dimension 8, par exemple ?

Le topologue algébrique Jaume Aguadé a répondu à cette question dans un article de 1991 intitulé "Cent ans de E8".

"Il sert à téléphoner, à écouter Mozart sur un Compact Disc, à envoyer un fax, à regarder la télévision par satellite, à se connecter, au moyen d'un modem, à un réseau informatique.

"Il est utilisé dans tous les processus où la transmission efficace d'informations numériques est nécessaire.

"La théorie de l'information nous enseigne que les codes de transmission de signaux sont plus fiables en haute dimension, et le réseau E8, avec sa symétrie surprenante et compte tenu de l'existence d'un décodeur approprié, est un instrument fondamental dans la théorie du codage et de la transmission des signaux".